Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh)

ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh) Σπύρος Αργυρός Μάρτιος 2011 1

2

Perieqìmena 1 Οι ϕυσικοί αριθμοί 11 1.1 Τα αξιώματα του Peano............................. 12 1.2 Αναδρομικοί ορισμοί.............................. 13 1.3 Οι πραξεις στο N................................ 14 1.4 Η διάταξη στο N................................ 15 1.5 Ο Ευκλείδιος Αλγόριθμος........................... 19 1.6 Υπαρξη μοντέλου του N............................ 20 2 Ακέραιοι και Ρητοί 23 2.1 Το σύνολο Z των Ακεραίων.......................... 23 2.2 Το σύνολο Q των Ρητών............................ 26 2.3 Εναλλακτικοί Ορισμοί των Z και Q...................... 28 2.3.1 Σχέσεις Ισοδυναμίας.......................... 29 2.4 Η συμβατότητα πράξεων και διάταξης με σχέση ισοδυναμίας......... 30 2.5 Εναλλακτικός ορισμός του Z.......................... 31 2.5.1 Ορισμοί πράξεων και διάταξης στο N 2................. 31 2.5.2 Ορισμός της σχέσης ισοδυναμίας στο N 2............... 31 2.6 Εναλλακτικός ορισμός του Q.......................... 33 3 Οι πραγματικοί αριθμοί 35 3.1 Ορισμός των πραγματικών αριθμών...................... 35 3.2 Οι ϕυσικοί αριθμοί σαν υποδομή του R.................... 38 3.3 Η ιδιότητα της πληρότητας του R....................... 39 3.3.1 Το Infimum υποσυνόλων του R.................... 41 3.3.2 Συνέπειες της πληρότητας στη δομή του R.............. 41 3.4 Η υπεραριθμησιμότητα του R.......................... 43 4 Μετρικοί χώροι και παραδείγματα 45 4.1 Ορισμός μετρικού χώρου............................ 45 4.2 Μετρικές σε διανυσματικούς χώρους που ορίζονται από νόρμες....... 46 3

5 Ακολουθίες και συναρτήσεις 55 5.1 Ακολουθίες................................... 55 5.1.1 Γενικοί ορισμοί............................. 55 5.1.2 Ακολουθίες πραγματικών αριθμών................... 56 5.1.3 Ακολουθίες σε ένα μετρικό χώρο (X, ρ)................ 56 5.1.4 Ακολουθίες στον ευκλείδειο χώρο (R k, ρ 2 ).............. 57 5.2 Συνεχείς συναρτήσεις.............................. 59 5.2.1 Συνεχείς συναρτήσεις σε μετρικούς χώρους.............. 60 5.2.2 Αρχή μεταϕοράς συγκλινουσών ακολουθιών............. 60 5.2.3 Πραγματικές συναρτήσεις........................ 62 6 Ανοικτά και κλειστά υποσύνολα μετρικών χώρων. 65 6.1 Οριακά σημεία.................................. 65 6.2 Σημεία συσσώρευσης.............................. 67 6.3 Ανοικτά υποσύνολα............................... 68 6.3.1 Ανοικτά υποσύνολα του R....................... 69 6.4 Κλειστά υποσύνολα............................... 71 6.5 Χαρακτηρισμοί της συνέχειας συναρτήσεων με χρήση ανοικτών ή κλειστών συνόλων...................................... 74 6.6 Ισοδύναμες μετρικές.............................. 77 7 Πυκνά σύνολα και Διαχωρίσιμοι Μετρικοί Χώροι 83 7.1 Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα. Το λήμμα Zorn............ 83 7.2 Πυκνά υποσύνολα μετρικών χώρων και διαχωρίσιμοι μετρικοί χώροι..... 85 7.3 Βάσεις περιοχών................................. 88 8 Πλήρεις μετρικοί χώροι 91 8.1 Πληρότητα.................................... 91 8.2 Το θεώρημα κατηγορίας του Baire....................... 95 8.3 Ομοιόμορϕα συνεχείς συναρτήσεις....................... 98 9 Συμπαγείς μετρικοί χώροι 103 9.1 Ιδιότητες συμπαγών χώρων........................... 104 9.2 Συνεχείς συναρτήσεις σε συμπαγείς μετρικούς χώρους............ 110 9.3 Ολικά ϕραγμένα υποσύνολα μετρικών χώρων.................. 112 10 Ακολουθίες συναρτήσεων 117 10.1 Κατά σημείο σύγκλιση ακολουθίας πραγματικών συναρτήσεων........ 117 10.2 Ομοιόμορϕη σύγκλιση ακολουθιών πραγματικών συναρτήσεων....... 119 4

11 Οι χώροι C[a, b] 123 11.1 Διανυσματικοί χώροι με νόρμα......................... 123 11.2 Ο διανυσματικός χώρος C[a, b] με τη νόρμα............... 126 11.3 Ισοσυνεχείς οικογένειες συναρτήσεων και το Θεώρημα Arzela........ 128 12 Γινόμενα μετρικών χώρων 135 12.1 Πεπερασμένα γινόμενα μετρικών χώρων.................... 136 12.2 Άπειρα αριθμήσιμα γινόμενα μετρικών χώρων................. 138 12.3 Το σύνολο Cantor............................... 142 5

6

Prìlogoc Το περιεχόμενο των σημειώσεων αϕορά τις παραδόσεις του μαθήματος Πραγματική Ανάλυση που διδάχτηκε το χειμερινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2001-2002 στο Τμήμα Εϕαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών (Τ.Ε.Μ.Φ.Ε.) του Ε.Μ.Π. Η ύλη που επιλέχθηκε να διδαχθεί και συμπεριλαμβάνεται στις σημειώσεις αϕορά τη θεωρία μετρικών χώρων. Ας σημειώσουμε ότι όπως έχει επικρατήσει διεθνώς, ο τίτλος Πραγματική Ανάλυση συμπεριλαμβάνει ένα ευρύ ϕάσμα θεμάτων σύγχρονης Μαθηματικής Ανάλυσης και σαν θεματική ενότητα δεν μπορεί να διδαχθεί σε ένα εξάμηνο. Η θεωρία μετρικών χώρων συνιστά τον κεντρικό πυρήνα των σύγχρονων μαθηματικών και η εξοικείωση του ϕοιτητή των Μαθηματικών με τις έννοιες και τις τεχνικές της είναι απαραίτητο εϕόδιο για οποιαδήποτε κατεύθυνση θα επιλέξει να ακολουθήσει. Οι σημειώσεις χωρίζονται σε εννιά κεϕάλαια και στο τέλος κάθε κεϕαλαίου παρατίθενται ορισμένες ασκήσεις. Δεδομένου ότι η ϕύση της θεωρίας μετρικών χώρων είναι αρκετά αϕηρημένη και η εξοικείωση των ϕοιτητών με παρόμοιες έννοιες και τεχνικές αποδείξεων είναι μικρή απαιτείται ιδιαίτερη προσοχή στη μελέτη του μαθήματος. Ειδικότερα ο ϕοιτητής θα πρέπει να έχει καλή γνώση και κατανόηση των εννοιών, (υπάρχουν αρκετές νέες έννοιες). Επίσης η γνώση των ισοδύναμων μορϕών (χαρακτηρισμών) των εννοιών είναι απαραίτητη για τη μελέτη των θεωρημάτων και την επίλυση ασκήσεων. Κατά τη διάρκεια των εξετάσεων ο ϕοιτητής θα πρέπει να διατυπώσει με σαϕήνεια τους συλλογισμούς που θα απαιτούνται για την απάντηση των ερωτημάτων. Είναι χρήσιμο κατά τη διάρκεια της μελέτης να καταγράϕει πλήρως τις απαντήσεις στις ασκήσεις η ακόμη και αποδείξεις θεωρημάτων (προτάσεων κ.λ.π.) τα οποία διαβάζει ώστε να εξοικειωθεί με την σαϕή διατύπωση συλλογισμών. Το περιεχόμενο του μαθήματος έχει επιλεγεί έτσι ώστε να μην υπάρχουν εκτενείς αποδείξεις και επίσης να εκτεθεί η ποικιλία των μεθόδων που εμϕανίζονται. Οι ασκήσεις επίσης έχουν επιλεγεί ώστε να συμβάλλουν στην καλή κατανόηση του μαθήματος. Με την ελπίδα ότι ο κάθε ϕοιτητής θα βρει κάποιο ενδιαϕέρον στο περιεχόμενο του μαθήματος και των σημειώσεων, σας εύχομαι καλή μελέτη και επιτυχία στις εξετάσεις. Η έγκαιρη προετοιμασία των σημειώσεων στηρίχθηκε στη σημαντική βοήθεια που προσ- ϕέρθηκε από τους συνεργάτες μου Α. Αρβανιτάκη, Β. Κανελλόπουλο, Α. Μανουσάκη και Α. Τόλια, τους οποίους και επιθυμώ να ευχαριστήσω. 7

8 Αθήνα 29 Ιανουαρίου 2002 Σπύρος Αργυρός Καθηγητής Μαθηματικών Ε.Μ.Π.

Prìlogoc deôterhc èkdoshc Η δεύτερη έκδοση των σημειώσεων του μαθήματος Πραγματικής Ανάλυσης αποτελεί συμπλήρωση της πρώτης. Εχει προστεθεί μια παράγραϕος στο κεϕάλαιο των πλήρων μετρικών χώρων που αϕορά τις ομοιόμορϕα συνεχείς συναρτήσεις, μια παράγραϕος στο κεϕάλαιο των συμπαγών μετρικών χώρων που αϕορά τα ολικά ϕραγμένα υποσύνολα μετρικών χώρων, καθώς και ένα κεϕάλαιο όπου ορίζονται τα γινόμενα μετρικών χώρων και το σύνολο Cantor. Αθήνα 15 Ιανουαρίου 2003 Σπύρος Αργυρός Καθηγητής Μαθηματικών Ε.Μ.Π. 9

10

Kefˆlaio 1 Oi fusikoð arijmoð Σε αυτό το κεϕάλαιο και στα δύο επόμενα θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα. Με αυτό εννοούμε τα σύνολα N των ϕυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές ενώ οι ακέραιοι και οι ρητοί είναι παράγωγα των ϕυσικών και των ακεραίων αντίστοιχα με σχετικά απλή διαδικασία. Τέλος οι πραγματικοί αριθμοί προκύπτουν από τους ρητούς κατά μη τετριμένο τρόπο. Στο κεϕάλαιο αυτό θα ορίσουμε τα θεμελιώδη συστήματα και θα συζητήσουμε κάποιες από τις βασικές ιδιότητές τους. Οι αριθμοί αποτελούν τον ακρογωνιαίο λίθο των μαθηματικών αλλά και όλων των επιστημών που το περιεχόμενό τους βασίζεται σε ποσοτικούς προσδιορισμούς. Η σαϕής γνώση της δομής τους αποτελεί απαραίτητη προυπόθεση για ενασχόληση με οποιονδήποτε κλάδο των μαθηματικών. Το σύνολο N των ϕυσικών αριθμών είναι αναμϕίβολα το απλούστερο από τα αριθμητικά συστήματα. Οι ϕυσικοί αριθμοί είναι τα πρώτα μαθηματικά αντικείμενα που έγιναν αντιληπτά από τον άνθρωπο στη διαδικασία της εξέλιξής του. Εχουν διακριτή δομή κατανοητή από τον οποιονδήποτε. Για παράδειγμα είναι σαϕές ότι αν βρισκόμαστε στον ϕυσικό αριθμό m τότε μπορούμε να μεταβούμε στον m + 1 και μεταξύ τους δεν υπάρχει κανένας ϕυσικός. Επίσης καταλαβαίνουμε πως μπορούμε να προσθέσουμε και να πολλαπλασιάσουμε ϕυσικούς αριθμούς και τέλος ότι αν μας δοθούν δύο ϕυσικοί αριθμοί τότε είτε είναι ίσοι είτε ο ένας είναι μεγαλύτερος από τον άλλο. Συνοψίζοντας τα παραπάνω μπορούμε να πούμε ότι το σύνολο των ϕυσικών αριθμών είναι ένα σύνολο N εϕοδιασμένο με δύο πράξεις +, και μία διάταξη < που ικανοποιούν κάποιες προϕανείς ιδιότητες. Το ερώτημα που τίθεται είναι το ακόλουθο. Μεταξύ όλων των ιδιοτήτων των ϕυσικών αριθμών ποιες είναι οι ελάχιστες δυνατές που αν υποθέσουμε ότι ισχύουν σε ένα σύνολο N τότε το N υποχρεωτικά ταυτίζεται με το σύνολο των ϕυσικών αριθμών; Οι ελάχιστες αυτές ιδιότητες εντοπίστηκαν μετά το 1850 από διάϕορους μαθηματικούς, ανεξάρτητα, και έχει επικρατήσει να ονομάζονται Αξιώματα Peano παρά το γεγονός ότι ο Peano δεν ήταν ο πρώτος που τα όρισε! Το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, όπως θα οριστεί στο παρόν κείμενο δε θα περιλαμβάνει 11

το μηδέν. Ορισμένοι συγγραϕείς θεωρούν το μηδέν σαν στοιχείο των ϕυσικών αριθμών. Κανένας από τους δύο ορισμούς δε θεωρείται λάθος και η παρουσία ή όχι του μηδενός δεν επηρεάζει την ευρύτερη δομή του συνόλου. 1.1 Ta axi mata tou Peano Αξίωματα 1.1. (Peano). Το σύνολο N των ϕυσικών αριθμών είναι ένα ζεύγος (N, s) όπου s είναι μία απεικόνιση s : N N με τις εξής ιδιότητες: (i.) Υπάρχει ένα στοιχείο 1 N. (ii.) Για κάθε n N, s(n) 1. (iii.) Η s είναι αμϕιμονοσήμαντη (1-1). (iv.) Εάν U N τέτοιο ώστε 1 U και για κάθε n U, s(n) U, τότε U = N. (Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής). Ας παρατηρήσουμε ότι οι βασικές ιδιότητες του N, δηλαδή οι πράξεις και η διάταξη απουσιάζουν πλήρως από τα παραπάνω αξιώματα. Τα αξιώματα αυτά αϕορούν ιδιότητες της συνάρτησης s (που λέγεται συνάρτηση επομένου) και όταν θα ορίσουμε τις πράξεις για κάθε n το s(n) θα ισούται με n + 1. Πρέπει επίσης να τονιστεί ότι οι ϕυσικοί αριθμοί δεν είναι απλά το σύνολο N. Το σημαντικότερο στοιχείο τους είναι η δομή τους που περιγράϕεται, σε επίπεδο αξιωμάτων από τη συνάρτηση s και την αρχή της επαγωγής, ενώ σε μεταγενέστερο στάδιο θα περιγράϕεται από τις πράξεις και τη διάταξη. Το πλέον ενδιαϕέρον από τα αξιώματα είναι αυτό της Αρχής της Μαθηματικής Επαγωγής. Θα παίξει καθοριστικό ρόλο τόσο στον ορισμό των πράξεων όσο και στον ορισμό της διάταξης. Θα μπορούσε να θεωρηθεί ότι είναι μία θεμελιώδης αρχή διαχείρισης του απείρου. Σαν άμεση συνέπεια έχει τη μαθηματική επαγωγή σαν αποδεικτική διαδικασία. Ακριβέστερα ισχύει το ακόλουθο: Πρόταση 1.2. Εστω P (n) μία μαθηματική πρόταση που διατυπώνεται για κάθε n N. Υποθέτουμε τα ακόλουθα: (i.) Η P (1) ισχύει. (ii.) Αν ισχύει η P (n) τότε αποδεικνύεται ότι ισχύει η P (s(n)). Τότε συμπεραίνουμε ότι για κάθε n N ισχύει η P (n). Δηλαδή το σύνολο {n N : η P (n) ισχύει} ισούται με το N. Η απόδειξη της πρότασης είναι άμεση συνέπεια του αξιώματος (iv.), παρατηρώντας ότι το σύνολο {n N : η P (n) ισχύει} ικανοποιεί τις υποθέσεις του (iv.) και άρα ταυτίζεται με το N. 12

Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι η προηγούμενη πρόταση έχει μεταμαθηματικό περιεχόμενο. Ουσιαστικά αϕορά τον τρόπο που αποδεικνύουμε ιδιότητες των ϕυσικών αριθμών (και όχι μόνο). Βεβαίως το ότι το αξίωμα (iv.) συνεπάγεται την πρόταση 1.2 είναι σχεδόν ϕανερό. Το αντίστροϕο δε συμβαίνει. Δηλαδή αν δεχτούμε ότι ισχύει η πρόταση 1.2 τότε το αξίωμα (iv.) δεν είναι συνέπεια αυτής. Θα δούμε παρακάτω ότι το αξίωμα (iv.) είναι συνέπεια μίας πολύ ϕυσιολογικής ιδιότητας της διάταξης στο N. Πρόταση 1.3. Για κάθε n N με n 1 υπάρχει m N τέτοιο ώστε s(m) = n. Απόδειξη. Θα κάνουμε χρήση της μαθηματικής επαγωγής. Θα θέσουμε U = {n N : υπάρχει m N ώστε s(m) = n} και θα δείξουμε ότι U {1} = N. Πράγματι 1 U {1}. Αν το n U {1} τότε για m = n N έχουμε ότι s(n) = s(m) και επομένως s(n) U. Άρα s(n) U {1}. Από μαθηματική επαγωγή έχουμε ότι U {1} = N. Επομένως για κάθε n N με n 1 έχουμε ότι n U και συνεπώς, από τον ορισμό του U, υπάρχει m N τέτοιο ώστε n = s(m). Τα αξιώματα του Peano εξασϕαλίζουν ότι ουσιαστικά υπάρχει ένα μόνο ζεύγος (N, s) που τα ικανοποιεί. Με αυτό εννοούμε ότι αν (N, s ) είναι ένα άλλο ζεύγος που ικανοποιεί τα αξιώματα του Peano τότε υπάρχει Φ : N N 1-1 και επί ώστε s (Φ(n)) = Φ(s(n)). Αυτό σημαίνει ότι μία ιδιότητα ισχύει στο (N, s) αν και μόνο αν ισχύει στο (N, s ) και υπό αυτήν την έννοια το ζεύγος (N, s) είναι μοναδικό. Η απόδειξη αυτής της ιδιότητας δίνεται στην επόμενη πρόταση. Πρόταση 1.4. Υπάρχει μοναδικό ζεύγος (N, s) που ικανοποιεί τα αξιώματα Peano. Περιγραϕή Απόδειξης.. Εστω ζεύγη (N, s) και (N, s ) που ικανοποιούν τα αξιώματα του Peano. Επομένως υπάρχουν 1 N και 1 N. Η Φ ορίζεται με επαγωγή. Ορίζουμε Φ(1) = 1 και αν το Φ(n) έχει οριστεί, θέτουμε Φ(s(n)) = s (Φ(n)). Η αρχή της μαθηματικής επαγωγής είναι αυτή που θα μας εξασϕαλίσει ότι το σύνολο {n N : το Φ(n) έχει οριστεί} είναι το σύνολο N καθώς επίσης ότι η Φ είναι 1-1 και επί. Προϕανώς για κάθε n N, Φ(s(n)) = s (Φ(n)). 1.2 AnadromikoÐ orismoð Ο προσεκτικός, αλλά όχι με αρκετή εμπειρία αναγνώστης, θα παρατηρήσει ότι η απόδειξη της προηγούμενης πρότασης είναι αρκετά πλήρης, γεγονός που δε δικαιολογεί τον όρο περιγραϕή της απόδειξης που διατυπώνεται στην αρχή της. Αν εξετάσουμε προσεκτικά το περιεχόμενο της απόδειξης θα συμϕωνίσουμε ότι το βασικό στοιχείο της είναι ο ορισμός της συνάρτησης Φ : (N, s) (N, s ). Ο ορισμός της Φ γίνεται επαγωγικά (ή με αναδρομή) 13

και το σημείο που πρέπει να επισημανθεί είναι ότι ο επαγωγικός ορισμός δεν είναι απλή συνέπεια της Μαθηματικής Επαγωγής. Εκτός αυτής χρησιμοποιεί και στοιχεία από τη θεωρία συνόλων. Η δυνατότητα να ολοκληρώνουμε ορισμούς νέων μαθηματικών αντικειμένων μέσω αναδρομής είναι το περιεχόμενο του Θεωρήματος της Αναδρομής που είναι το ακόλουθο: Θεώρημα 1.5 (Αναδρομής). Εστω A σύνολο, h : A A συνάρτηση και a A. Τότε υπάρχει συνάρτηση Φ : N A ώστε (i) Φ(1) = a. (ii) Για κάθε n N, Φ(s(n)) = h(φ(n)). Ο ενδιαϕερόμενος αναγνώστης μπορεί να βρει την απόδειξη του Θεωρήματος σε βιβλία Θεωρίας Συνόλων. Για παράδειγμα περιέχεται στο εξαιρετικό κείμενο του Γ. Μοσχοβάκη Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία. Αξίζει να παρατηρήσει κανείς ότι η πρόταση 1.4 που διασϕαλίζει τη μοναδικότητα του ζεύγους (N, s) είναι άμεση συνέπεια του Θεωρήματος της Αναδρομής. Αρκεί να θέσει κανείς όπου A = N, h = s και a = 1. 1.3 Oi praxeic sto N Οταν λέμε ότι ένα σύνολο A είναι εϕοδιασμένο με μία πράξη εννοούμε την ύπαρξη μίας συνάρτησης : A A A ώστε (a, b) = a b. Θα ορίσουμε τώρα τις δύο θεμελιώδεις πράξεις στο N, δηλαδή την πρόσθεση + και τον πολλαπλασιασμό. Δεδομένου ότι οι πράξεις είναι συναρτήσεις ο ακριβής ορισμός τους απαιτεί τη χρήση του Θεωρήματος Αναδρομής που έχουμε ήδη αναϕέρει. Στον ορισμό που αναϕέρεται αυτό παραλείπεται. Ορισμός 1.6. (Πρόσθεση) Ορίζουμε μία πράξη + : N N N, την οποία καλούμε πρόσθεση, με τις εξής ιδιότητες: i. Για κάθε n N, n + 1 = s(n). ii. Για κάθε (n, m) N N, n + s(m) = s(n + m). Ενώ για κάθε (n, m) N N χρησιμοποιώντας την Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής έχουμε ορίσει το n + m, εν τούτοις ο ορισμός της πρόσθεσης σαν συνάρτηση απαιτεί το Θεώρημα της Αναδρομής και αυτό το βήμα το παραλείπουμε. Ορισμός 1.7. (Πολλαπλασιασμός) Ορίζουμε μία πράξη : N N N, την οποία καλούμε πολλαπλασιασμό, με τις εξής ιδιότητες: i. Για κάθε n N, n 1 = n. ii. Για κάθε (n, m) N N, n s(m) = n m + n. 14

Πρόταση 1.8. Εάν n, m, k N, τότε α. i. n + (m + k) = (n + m) + k (προσεταιριστική ιδιότητα). ii. n + m = m + n (μεταθετική ιδιότητα). iii. Εάν n + m = n + k, τότε m = k (νόμος διαγραϕής). β. i. n(mk) = (nm)k (προσεταιριστική ιδιότητα). ii. nm = mn (μεταθετική ιδιότητα). iii. Εάν nm = nk, τότε m = k (νόμος διαγραϕής). γ. (n + m)k = nk + mk (επιμεριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού ως προς την πρόσθεση). Απόδειξη. Αποδεικνύουμε μόνο την α.i. Εστω U το σύνολο όλων των k N για τα οποία n + (m + k) = (n + m) + k για όλα τα n, m N. Λόγω του ορισμού 1.6 έχουμε n + (m + 1) = n + s(m) = s(n + m) = (m + n) + 1 Άρα 1 U. Εστω k U, τότε πάλι λογω του ορισμού 1.6 έχουμε n + (m + s(k)) = n + s(m + k) = s(n + (m + k)) = s((n + m) + k) = (n + m) + s(k) Άρα s(k) U και λόγω του αξιώματος 1.1 (iv.) U = N, και η ιδιότητα έχει αποδειχθεί. Οι υπόλοιπες ιδιότητες αποδεικνύονται με χρήση Μαθηματικής Επαγωγής και αϕήνονται στον αναγνώστη. 1.4 H diˆtaxh sto N Η διάταξη των ϕυσικών αριθμών είναι μία πολύ σημαντική συνιστώσα της δομής τους. Η βασική ιδιότητά της είναι ότι είναι καλή διάταξη, δηλαδή ότι κάθε υποσύνολο έχει ελάχιστο στοιχείο. Αυτή η ιδιότητα που ϕαίνεται τελείως ϕυσιολογική είναι τόσο ισχυρή ώστε να μπορεί να αντικαταστήσει το αξίωμα της Μαθηματικής Επαγωγής. Το τελευταίο δείχνεται στην πρόταση 1.17. Ορισμός 1.9. (Διάταξη) Εστω ένα σύνολο X. Ορίζουμε ως διάταξη στο X μία σχέση στο X, R X X, που ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες: (i.) Για κάθε x X έχουμε ότι (x, x) R. (αυτοπάθεια) (ii.) Για κάθε x, y X έχουμε ότι αν (x, y) R και (y, x) R, τότε x = y. (αντισυμμετρικότητα) 15

(iii.) Για κάθε x, y, z X τέτοια ώστε (x, y) R και (y, z) R έχουμε ότι (x, z) R. (μεταβατικότητα) Συχνά συμβολίζουμε μία δίαταξη με και αντί να γράϕουμε (x, y) γράϕουμε x y και θα λέμε ότι το x είναι μικρότερο ή ίσο του y. Το ζεύγος (X, ) καλείται διατεταγμένος χώρος. Επίσης αν x y και x y, γράϕουμε x < y. Αξίζει να παρατηρήσουμε στο σημείο αυτό ότι σε ένα διατεταγμένο χώρο (X, ) δεν είναι πάντα σωστό ότι οποιαδήποτε δύο στοιχεία του, x, y X, είναι συγκρίσιμα, δηλαδή είτε x y είτε y x. Θεωρήστε, για παράδειγμα, ένα σύνολο Y με τουλάχιστον δύο στοιχεία, X = P(Y ) το δυναμοσύνολο του Y, δηλαδή το σύνολο που σαν στοιχεία του έχει όλα τα υποσύνολα του Y και τη σχέση διάταξης στο X, οπου A B αν A B. Αν x, y Y με x y και A = {x}, B = {y}, τότε τα A, B δεν είναι συγκρίσιμα. Ορισμός 1.10. Ενας διατεταγμένος χώρος (X, ) καλείται ολικά διατεταγμένος και η καλείται ολική διάταξη αν οποιδήποτε δύο στοιχεία του X είναι συγκρίσιμα. Δηλαδή για κάθε x, y X έχουμε ότι είτε x y είτε y x. Η διάταξη στο N θα οριστεί με τη βοήθεια της επόμενης πρότασης. Πρόταση 1.11. Εστω n, m N. Τότε ακριβώς ένα από τα παρακάτω ισχύει. (a) n = m. (b) Υπάρχει k N τέτοιο ώστε n = m + k. (c) Υπάρχει k N τέτοιο ώστε m = n + k. Απόδειξη. Για κάθε n N ορίζουμε Σ n = {m N : (a) n = m ή (b) υπάρχει k N τέτοιο ώστε n = m + k ή (c) υπάρχει k N τέτοιο ώστε m = n + k} και θέτουμε επίσης U = {n N : Σ n = N}. Χρησιμοποιώντας την Αρχή της μαθηματικής επαγωγής θα δείξουμε ότι U = N. Το 1 U. Πράγματι, για κάθε n N έχουμε ότι είτε το n = 1, το οποίο άμεσα έπεται ότι n Σ 1 (περίπτωση (a)), είτε n 1. Τότε από πρόταση 1.3 υπάρχει k N τέτοιο ώστε n = s(k) = 1 + k Σ 1 (περίπτωση (b)). Ας υποθέσουμε ότι n U, δηλαδή Σ n = N. Θα δείξουμε ότι Σ s(n) = N, δηλαδή s(n) U. Πράγματι, για κάθε m N έχουμε ότι m Σ n. Επομένως (a) είτε n = m. Τότε s(n) = s(m) = m + 1 και συνεπώς m Σ s(n) (περίπτωση (b)). (b) είτε υπάρχει k N τέτοιο ώστε n = m + k. Τότε s(n) = s(m + k) = m + (k + 1). Συνεπώς m Σ s(n) (περίπτωση (b)). (c) είτε υπάρχει k N τέτοιο ώστε m = n + k. (c ) Αν k = 1 τότε m = n + 1 = s(n) και συνεπώς m Σ s(n) (περίπτωση (a)). 16

(c ) Αν k 1, από πρόταση 1.3 υπάρχει l N τέτοιο ώστε s(l) = k. Τότε m = n + k = n + s(l) = n + l + 1 = (n + 1) + l = s(n) + l. Συνεπώς m Σ s(n) (περίπτωση (c)). Δηλαδή για κάθε m N έχουμε ότι m Σ s(n). Άρα Σ s(n) = N και s(n) U. Από Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής έχουμε ότι U = N. Εύκολα παρατηρεί κανείς ότι ακριβώς μία από τις παραπάνω περιπτώσεις θα ισχύει. Ειδάλλως θα υπήρχαν n, k N τέτοια ώστε n+k = n. Ισοδύναμα n + k + 1 = n + 1 και από το νόμο της διαγραϕής έπεται ότι k + 1 = s(k) = 1 το οποίο αντιϕάσκει με τα αξιώματα Peano. Ορισμός 1.12. (Διάταξη στο N). Εάν n, m N και υπάρχει k N ώστε n+k = m, τότε λέμε ότι ο m είναι μεγαλύτερος του n (ή ισοδύναμα ο n μκρότερος του m) και συμβολίζουμε m > n (ή ισοδύναμα n < m). Θα γράϕουμε n m αν είτε n = m είτε n < m. Είναι εύκολο να ελέγξει κανείς ότι η σχέση που μόλις ορίσαμε αποτελεί σχέση διάταξης στο N και μάλιστα σύμϕωνα με την πρόταση 1.11 αποτελεί ολική διάταξη. Η ακόλουθη πρόταση παραθέτει κάποιες βασικές ιδιότητες της διάταξης των ϕυσικών αριθμών που σχετίζονται με τις πράξεις. Η απόδειξή τους αϕήνεται ως άσκηση στον αναγνώστη. Πρόταση 1.13. Εστω n, m N. i. Εάν n < m, τότε n + k < m + k, για κάθε k N. ii. Εάν n < m, τότε nk < mk, για κάθε k N. Ορισμοί 1.14. Εστω (X, ) διατεταγμένος χώρος, A X και a A. (i.) Το a καλείται ελάχιστο (minimum) του A αν για κάθε b A ισχύει ότι a b. (ii.) Το X καλείται καλά διατεταγμένο αν κάθε μη κενό υποσύνολό του έχει ελάχιστο στοιχείο και η καλείται καλή διάταξη. Ας παρατηρήσουμε ότι κάθε καλά διατεταγμένο σύνολο είναι και ολικά διατεταγμένο. Πράγματι αν (X, ) καλά διατεταγμένος χώρος και x, y X, τότε το σύνολο S = {x, y} X έχει ελάχιστο. Αυτό συνεπάγεται άμεσα ότι καθιστά τα δύο αυτά στοιχεία συγκρίσιμα, αϕού το ελάχιστο θα είναι μικρότερο ή ίσο του άλλου. Θεώρημα 1.15. Το N είναι καλά διατεταγμένο. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι υπάρχει μη κενό M N που δεν έχει ελάχιστο στοιχείο για να καταλήξουμε σε άτοπο, δείχνοντας ότι M =. Θέτουμε B = {n N : για κάθε k n το k M}. Κάνοντας χρήση της επαγωγής θα δείξουμε ότι το B = N και κατ επέκταση M =. Το 1 M, διότι αν ανήκε θα αποτελούσε το ελάχιστο στοιχείο του M το οποίο έρχεται σε 17

αντίθεση με την υπόθεση ότι το M δεν έχει ελάχιστο στοιχείο. Επομένως 1 B. Αν n B τότε για κάθε k n το k M. Επομένως s(n) M, διότι αν άνηκε θα αποτελούσε το ελάχιστο στοιχείο του M, το οποίο οδηγεί σε άτοπο. Από επαγωγή έχουμε ότι B = N. Είναι ενδιαϕέρον ότι η απόδειξη της ιδιότητας της καλής διάταξης στο N απαιτεί την χρήση του αξιώματος της Μαθηματικής Επαγωγής. Οπως έχουμε ήδη αναϕέρει στην αρχή του κεϕαλαίου, αυτό είναι αναγκαίο διότι η ιδιότητα της καλής διάταξης είναι σχεδόν ισοδύναμη με την Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής. Η επόμενη πρόταση είναι επίσης συνέπεια της κάλής διάταξης του N. Πρόταση 1.16. Εστω M ένα άπειρο υποσύνολο του N. Τότε υπάρχει μία απεικόνιση ϕ : N M, η οποία είναι γνησίως αύξουσα και επί. Σαν συνέπεια, M = {m n } n N όπου m n = ϕ(n) για κάθε n N. Απόδειξη. Η συνάρτηση ϕ ορίζεται αναδρομικά ως εξής. Θέτουμε ϕ(1) = min M και M 1 = M \ {min M}. Υποθέτουμε ότι M M 1... M k... M n έχουν οριστεί ώστε για κάθε 1 < k n, M k = M k 1 \ {min M k 1 } και ϕ(k) = min M k 1. Τότε ορίζουμε ϕ(n + 1) = min M n και M n+1 = M n \ {min M n }. Επομένως, η ϕ έχει οριστεί για κάθε n N. Είναι εύκολο να δειχθεί με επαγωγή ότι η ϕ είναι γνησίως αύξουσα. Μένει να δείξουμε ότι η συνάρτηση ϕ είναι επί. Πράγματι, αν όχι τότε θα υπήρχε m 0 M ώστε m 0 ϕ(n) για κάθε n N. Θέτουμε M = {m M : m ϕ(n) για κάθε n N} και έστω k = min M. Προϕανώς, ϕ(1) = min M < k και αν για κάποιο n N ισχύει ότι ϕ(n) < k τότε ϕ(n + 1) < k. Άρα, το σύνολο {n N : ϕ(n) < k} = N. Αυτό είναι άτοπο γιατί το σύνολο {l N : l < k} είναι πεπερασμένο και η ϕ είναι 1 1 (βλέπε επόμενη άσκηση). Ασκηση 1.1. Δείξτε με επαγωγή ότι δεν υπάρχει ϕ : {1,..., k + 1} {1,..., k} για κάθε k N που είναι 1 1. Πρόταση 1.17. Εστω (N, ) ένα μη κενό καλά διατεταγμένο σύνολο, 1 = min N και συνάρτηση s : N N με τις εξής ιδιότητες: (i.) Η s είναι 1-1. (ii.) Για κάθε n N με n 1 υπάρχει m N τέτοιο ώστε n = s(m). (iii.) Για κάθε n N έχουμε ότι n < s(n). Το ζεύγος (N, ) ικανοποιεί τα αξιώματα Peano και πρόκειται συνεπώς για το σύνολο των ϕυσικών αριθμών. Απόδειξη. Καταρχάς παρατηρούμε ότι για κάθε n N, 1 n < s(n) και συνεπώς s(n) 1. Απομένει να δείξουμε ότι ικανοποιεί την Αρχή της Μαθηματικής Επαγωγής. Εστω U N 18

τέτοιο ώστε 1 U και για κάθε n U έχουμε ότι το s(n) U. Θα δείξουμε ότι U = N. Πράγματι θα υποθέσουμε ότι δεν ισχύει και θα καταλήξουμε σε άτοπο. Εστω, λοιπόν, το V = N \ U και n = min V. Επειδή 1 U έπεται ότι n 1 και συνεπώς υπάρχει m N τέτοιο ώστε s(m) = n. Επειδή m < s(m) = n και n το ελάχιστο στοιχείο του V έπεται ότι m V και συνεπώς m U. Από την υπόθεση για το U έχουμε ότι n = s(m) U, το οποίο είναι άτοπο. 1.5 O EukleÐdioc Algìrijmoc Ο Ευκλείδιος Αλγόριθμος αϕορά την εύρεση του μέγιστου κοινού διαιρέτη (μ.κ.δ.) δύο ϕυσικών αριθμών. Περιέχεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη σε γεωμετρική μορϕή και αϕορά μία μέθοδο ελέγχου του κατά πόσο δύο ευθύγραμμα τμήματα είναι ισομετρήσιμα. Δηλαδή κατά πόσο υπάρχει ένα τρίτο ευθύγραμμο τμήμα ακέραια πολλαπλάσια του οποίου είναι τα δύο προηγούμενα. Οπως είναι γνωστό αυτή την ιδιότητα δε την έχουν όλα τα ζεύγη ευθυγράμμων τμημάτων. Για παράδειγμα η υποτείνουσα και μία κάθετη πλευρά ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου δεν είναι ισομετρήσιμα. Το πραγματικό όμως περιεχόμενο του Ευκλείδιου Αλγορίθμου είναι η εύρεση του μ.κ.δ. που έχουμε ήδη αναϕέρει. Ο Ευκλείδιος Αλγόριθμος περιγράϕει την ακόλουθη μέθοδο. Ας υποθέσουμε ότι m, n είναι ϕυσικοί αριθμοί με n < m. Τότε m = np 1 + v 1 με p 1, v 1 ϕυσικούς αριθμούς και v 1 < n. Αν v 1 = 0 τότε η διαδικασία τερματίζεται. Διαϕορετικά n = p 2 v 1 + v 2 με p 2, v 2 ϕυσικούς αριθμούς και v 2 < v 1. Πάλι αν v 2 = 0 η διαδικασία τερματίζεται. Διαϕορετικά v 1 = p 3 v 2 + v 3 και συνεχίζουμε όπως προηγουμένως. Με τη διαδικασία αυτή ορίζουμε μία γνησίως ϕθίνουσα ακολουθία n > v 1 > v 2 >... > v k η οποία τερματίζεται στο v k αν και μόνο αν το v k = 0. Το θεώρημα αποϕαίνεται ότι αν v k = 0 τότε ο μ.κ.δ. των m και n είναι ο v k 1. Άρα πράγματι η διαδικασία αυτή οδηγεί στην εύρεση του μ.κ.δ. των m, n. Η απόδειξη στηρίζεται στην ακόλουθη απλή πρόταση. Ας αρχίσουμε με κάποιους συμβολισμούς. Αν p N και q N {0} θα γράϕουμε p q αν ο p διαιρεί τον q (κάθε p N διαιρεί το 0). Επίσης για m, n N θέτουμε (m, n) = {p N : p n και p m}. Πρόταση 1.18. Εστω n, m N με n < m και m = np + v όπου p, v N. Τότε (m, n) = (n, v). Απόδειξη. Θα δείξουμε ότι (n, v) (m, n) και αντίστροϕα. Εστω l (n, v). Τότε l n και l v. Επομένως l np + v. Δηλαδή l m. Αντίστροϕα αν l (m, n), τότε l m και l n. Άρα l m np. Επομένως l v, αϕού v = m np. Στον Ευκλείδιο Αλγόριθμο που τερματίζεται στο v k (v k = 0) η πρόταση έχει την ακόλουθη συνέπεια. (m, n) = (n, v 1 ) = (v 1, v 2 ) =... = (v k 2, v k 1 ). Επειδή v k 1 v k 2 έπεται ότι v k 1 = max (v k 2, v k 1 ) = max (m, n). Άρα v k 1 είναι ο μ.κ.δ. των m, n. 19

Παρατηρήση. Αξίζει να σημειώσουμε ότι ο τερματισμός του Ευκλείδιου Αλγόριθμου σε πεπερασμένα βήματα είναι συνέπεια της καλής διάταξης του συνόλου N. Πράγματι μία ολική διάταξη είναι καλή αν και μόνο αν οι γνησίως ϕθίνουσες ακολουθίες είναι πεπερασμένες. Ετσι θεωρώντας οι αρχαίοι Ελληνες ότι ο Ευκλείδιος Αλγόριθμος τερματίζεται, ουσιαστικά δέχονταν ότι η διάταξη του N είναι καλή. Θα πρέπει επίσης να επισημάνουμε ότι η Μαθηματική Επαγωγή σαν αποδεικτική μέθοδος διατυπώθηκε για πρώτη ϕορά από τον F. Maurolicos (Φ. Μαυρόλυκος) (1494-1575) Σικελό Ελληνικής καταγωγής και εν συνεχεία από τον Pascal (1623-1662). Εντούτοις στα Στοιχεία του Ευκλείδη υπάρχουν προτάσεις που η απόδειξή τους απαιτεί Μαθηματική Επαγωγή η οποία εϕαρμόζεται ατελώς. 1.6 'Uparxh montèlou tou N Ενα σημείο που αξίζει επίσης να σχολιάσουμε αϕορά την ύπαρξη ενός συνόλου N εϕοδιασμένου με μία συνάρτηση s : N N που να ικανοποιεί τα αξιώματα του Peano. Στο ερώτημα αυτό μπορεί να διατυπωθεί ο αντίλογος σε δύο κατευθύνσεις. Καταρχάς θα μπορούσε κάποιος να απαντήσει ότι βεβαίως και υπάρχει και είναι οι ϕυσικοί αριθμοί που γενιές και γενιές έχουν μεγαλώσει μαζί τους. Και αυτό ακούγεται λογικό δεδομένου ότι οι ϕυσικοί αριθμοί θεωρούνται το πιο στέρεο μαθηματικό οικοδόμημα. Αν συλλογιστούμε όμως τους ϕυσικούς αριθμούς αντιλαμβανόμαστε ότι έχουμε πλήρη γνώση ενός πολύ μικρού αρχικού διαστήματος. Για το υπόλοιπο μέρος τους έχουμε διαμορϕώσει ένα ισχυρό πιστεύω ότι εξελίσσεται με τρόπο παρόμοιο με αυτόν που παρατηρούμε στο μικρό αρχικό διάστημα τους. Τα αξιώματα που παραθέσαμε στοχεύουν να ορίσουν στο N τη δομή που πιστεύουμε ότι πρέπει να έχει. Η απάντηση λοιπόν στον πρώτο αντίλογο είναι ότι είμαστε γνώστες ενός μικρού μέρους του N και το μεγαλύτερο μέρος του διαϕεύγει πλήρως της εμπειρίας μας. Ο δεύτερος αντίλογος αϕορά την έκϕραση να βρούμε ένα σύνολο N και μία συνάρτηση s : N N ώστε να ικανοποιούνται τα αξιώματα. Και η ερώτηση είναι απλή. Πως είναι δυνατόν να μπορούμε να αποδείξουμε αξιώματα; Αν αυτό συμβαίνει τότε αυτά δεν είναι αξιώματα αλλά συνέπειες αξιωμάτων! Ολες αυτές οι παρατηρήσεις έχουν ισχυρή βάση αλήθειας. Πράγματι, οποιαδήποτε μαθηματική θεωρία βασίζεται στις θεμελιώδεις (μη ορίσιμες) έννοιες και θεμελιώδεις (μη αποδείξιμες) προτάσεις απ όπου με βάση τους θεμελιώδεις νόμους της λογικής αναδεικνύεται ο επιστημονικός πλούτος. Το σημαντικό είναι ότι μία μαθηματική θεωρία μπορεί να αποτελεί μέρος μίας ευρύτερης θεωρίας της οποίας τα αξιώματα να επιτρέπουν την κατασκευή συνόλων και συναρτήσεων που να ικανοποιούν τα αξιώματα της επι μέρους θεωρίας. Για παράδειγμα τα αξιώματα Peano για το N μπορούν να θεωρηθούν στο ευρύτερο πλαίσιο της θεωρίας συνόλων και εκεί είναι εϕικτή η κατασκευή ενός συνόλου N και μίας s : N N ώστε να ικανοποιούνται τα αξιώματα Peano. Η απόδειξη αυτού του ισχυρισμού βρίσκεται εκτός του πλαισίου και των στόχων του μαθήματος και για το λόγο αυτό θα δεχτούμε αξιωματικά ότι 20

υπάρχει ένα ζεύγος (N, s) που ικανοποιεί τα αξιώματα Peano. 21

22

Kefˆlaio 2 Akèraioi kai RhtoÐ Εχοντας ολοκληρώσει την θεμελίωση των ϕυσικών αριθμών, ακολουθούν τα δύο επό- μενα βήματα που είναι οι ακέραιοι και οι ρητοί. Το πέρασμα από τους ϕυσικούς στους ακεραίους και εν συνεχεία στους ρητούς είναι ϕυσιολογικό. Θα παραθέσουμε δύο εναλλακτικούς ορισμούς για τα δύο συστήματα. Στο πρώτο μέρος οι ορισμοί είναι πιο αναμενόμενοι. Εν τούτοις υπάρχουν κάποιες ασάϕειες, ειδικότερα στον ορισμό των ρητών. Στο δεύτερο μέρος οι ορισμοί στηρίζονται στην έννοια της σχέσης ισοδυναμίας και από άποψη μαθηματικής αυστηρότητας είναι σαϕώς πιο ακριβείς. Εν τούτοις η κατ αρχήν επαϕή με αυτούς μπορεί να δημιουργήσει απλοϊκές αντιρρήσεις και αμϕιβολίες. 2.1 To sônolo Z twn AkeraÐwn Για να ορίζουμε το σύνολο Z θα εισάγουμε ένα νέο σύνολο το N που ορίζεται ως εξής N = { n : n N} Πρέπει να παρατηρήσουμε ότι το N αποτελείται από κάποια νέα σύμβολα που ορίζονται με χρήση των συμβόλων των ϕυσικών αριθμών. Το σύνολο Z των ακεραίων ορίζεται ως εξής Z = N {0} N όπου 0 είναι επίσης ένα νέο σύμβολο. Παρατηρούμε καταρχάς ότι το N είναι υποσύνολο του Z και στο επόμενο βήμα θα επεκτείνουμε τις πράξεις και τη διάταξη του N στο Z, ορίζοντας την πρόσθεση +, τον πολλαπλασιασμό και τη διάταξη <. Η επέκταση των πράξεων γίνεται με τη βοήθεια των πράξεων που έχουμε ήδη στο N και το ίδιο ισχύει για τη διάταξη. Στους ακόλουθους ορισμούς θα χρησιμοποιήσουμε τα σύμβολα + N, N, < N για τις πράξεις και τη διάταξη στο N ώστε να μην δημιουργηθεί σύγχυση με τις αντίστοιχες του Z. ΠΡΟΣΘΕΣΗ 23

(i) Για κάθε m Z, m + 0 = m. (ii) Για κάθε m, n N, n + m = n + N m. (iii) Για κάθε m, n N, ( n) + ( m) = (n + N m) (iv) Για κάθε m N και n N θα ορίζουμε το m + ( n) διακρίνοντας τις ακόλουθες περιπτώσεις: α) Αν n = m, τότε m + ( n) = 0. β) Αν m > N n, τότε από τις ιδιότητες της διάταξης των ϕυσικών αριθμών υπάρχει μοναδικό k N τέτοιο ώστε m = n + N k και ορίζουμε m + ( n) = k. γ) Αν m < N n, τότε υπάρχει μοναδικό k N τέτοιο ώστε n = m + N k και ορίζουμε m + ( n) = k. ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ (i) Για κάθε m Z, m 1 = m. (ii) Για κάθε m Z, m 0 = 0. (iii) Για κάθε m, n N, m n = m N n. (iv) Για κάθε m, n N, ( m) ( n) = m N n. (v) Για κάθε m N και n N, m ( n) = (m N n). ΔΙΑΤΑΞΗ (i) Για κάθε m, n N, n < m αν και μόνον αν n < N m. (ii) Για κάθε m, n N, ( m) < ( n) αν και μόνον αν n < N m. (iii) Για κάθε m N και n N, n < m. (iv) 1 < 0 < 1. Από τους ορισμούς των πράξεων και της διάταξης είναι εύκολη η διαπίστωση των ακόλουθων ιδιοτήτων. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ 1 Το στοιχείο 0 αποτελεί το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης στο Z, δηλαδή για κάθε m Z, m + 0 = 0 + m = m. 2 Για κάθε m Z υπάρχει ο αντίθετός του m ώστε m + ( m) = 0. (Πράγματι αν m N, τότε ο m έχει ορισθεί. Αν m N με m = n, τότε m = n.) 3 Για κάθε m, n Z, n + m = m + n (αντιμεταθετική). 24

4 Για κάθε m, n, k Z, n + (n + k) = (n + m) + k (προσεταιριστική). ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ 1 Το στοιχείο 1 αποτελεί το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού στο Z, δηλαδή για κάθε m Z, m 1 = 1 m = m. 2 Για κάθε m, n Z, n m = m n (αντιμεταθετική). 3 Για κάθε m, n, k Z, n (n k) = (n m) k (προσεταιριστική). ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Για κάθε m, n, k Z, k (n + m) = k m + k m (επιμεριστική). ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ 1 Η διάταξη < στο Z είναι ολική διάταξη. 1 Για κάθε m, n Z, n < m αν και μόνο αν υπάρχει k N τέτοιο ώστε m = n + k. 2 Για κάθε m, n, k Z, n < m αν και μόνο αν n + k < m + k. 3 Για κάθε m, n Z και k N, n < m αν και μόνο αν n k < m k. 4 Για κάθε m, n Z και k N, n < m αν και μόνο αν n k > m k. Ορισμός 2.1. Εστω (X, ) ένα μερικά διατεταγμένο σύνολο και A X. Ενα y X καλείται άνω ϕράγμα (αντίστοιχα κάτω ϕράγμα) του A αν για κάθε x A το x y (αντίστοιχα x y). Ενα y A καλείται μέγιστο (αντίστοιχα ελάχιστο) στοιχειο του A αν για κάθε x A το x y (αντίστοιχα x y). Πρόταση 2.2. Κάθε μη κενό άνω ϕραγμένο υποσύνολο του N έχει μέγιστο. Απόδειξη. Εστω A N μη κενό και άνω ϕραγμένο. Εστω B το σύνολο όλων των άνω ϕραγμάτων του A. Εϕόσον το A άνω ϕραγμένο έπεται ότι B είναι μη κενό και συνεπώς λόγω της καλής διάταξης του N το B έχει ελάχιστο στοιχείο n 0. Για να δείξουμε ότι το n 0 αποτελεί μέγιστο στοιχείο για το A αρκεί να δείξουμε ότι n 0 A. Υποθέτουμε ότι n 0 A. Τότε για κάθε n A, n < N n 0. Επόμένως για κάθε n A, n N n 0 1. Τότε όμως n 0 1 B που είναι άτοπο καθώς n 0 1 < N n 0 και n 0 το ελάχιστο στοιχείο του B. Πρόταση 2.3. Ενα A Z έχει ελάχιστο στοιχείο αν και μόνο αν το A = { n : n A} έχει μέγιστο και μάλιστα ισχύει min(a) = max( A). Απόδειξη. Εστω n 0 το ελάχιστο στοιχείο του A. Τότε το n 0 A. Αρκει να δείξουμε ότι ο n 0 αποτελεί άνω ϕράγμα του A. Πράγματι, για κάθε l = k A το k A και k n 0. Επομένως το l = k n 0. Ομοίως αποδεικνύεται και η αντίστροϕη ϕορά. 25

Θεώρημα 2.4. Κάθε μη κενό και άνω ϕραγμένο, (αντίστοιχα κάτω ϕραγμένο) υποσύνολο του Z έχει μέγιστο (αντίστοιχα ελάχιστο). Απόδειξη. Εστω A Z μη κενό και άνω ϕραγμένο. Αν A N, τότε το A N είναι ένα μη κενό υποσύνολο του N, άρα από την Πρόταση 0.5 θα έχει μέγιστο, το οποίο θα είναι και μέγιστο του A. Αν το A N = τότε το A N {0}. Αν το 0 A τότε αποτελεί και μέγιστο για το A. Αλλιώς το A N και επομένως το A μη κενό υποσύνολο του N. Από την καλή διάταξη του N έπεται ότι το A έχει ελάχιστο και από Πρόταση 2.3 το A έχει μέγιστο. 2.2 To sônolo Q twn Rht n Οι ρητοί προκύπτουν από τους ακεραίους κατά ϕυσιολογικό τρόπο. Κατ αρχάς ορίζουμε το σύνολο Q των ρητών. Το Q ορίζεται σαν ένα σύνολο νέων συμβόλων ως εξής: { p } Q = q : p Z και q N Το p q είναι ένα νέο σύμβολο και όταν θα ορίσουμε τις πράξεις θα αναπαριστά τον αντίτοιχο ρητό όπως είναι αναμενόμενο να συμβεί. Μία ιδιαιτερότητα του Q είναι η ισότητα των στοιχείων του. Συνήθως όταν ορίζουμε ένα σύνολο προνοούμε τα στοιχεία που συμβολίζονται με διαϕορετικά σύμβολα να είναι διάϕορα μεταξύ τους. Αυτό δε συμβαίνει στο Q όπως το περιγράϕουμε ανωτέρω. Ετσι υπάρχουν στοιχεία που ενώ είναι ίσα μεταξύ τους τους αντιστοιχούν διαϕορετικά σύμβολα. Αυτό βεβαίως ισχύει και στους ρητούς όπως τους ορίζει κάποιος στις προπανεπιστημιακές σπουδές. (π.χ οι ρητοί 1 2 και 2 4 είναι ίσοι.) Επίσης πρέπει να παρατηρήσουμε ότι στο Q δεν έχουμε συμπεριλάβει όλους τους p q με p, q Z και q 0. Ο λόγος είναι ότι αυτοί που έχουμε συμπεριλάβει επαρκούν για να περιγράψουμε το σύνολο των ρητών και επίσης μας επιτρέπουν να ορίσουμε τη διάταξη με πιο κομψό τρόπο. Στο Q η ισότητα, η διάταξη και οι πράξεις ορίζονται ως εξής: ΙΣΟΤΗΤΑ p 1 = p 2 p 1 q 2 = p 2 q 1 q 1 q 2 ΔΙΑΤΑΞΗ p 1 q 1 < p 2 q 2 p 1 q 2 < p 2 q 1 ΠΡΟΘΕΣΗ p 1 + p 2 = p 1q 2 + p 2 q 1 q 1 q 2 q 1 q 2 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ p 1 p2 = p 1p 2 q 1 q 2 q 1 q 2 Ασκηση 2.1. Δείξτε ότι αν r 1, r 2, r 3, r 4 Q ώστε r 1 = r 3 και r 2 = r 4, τότε α. r 1 + r 2 = r 3 + r 4. 26

β. r 1 r 2 = r 3 r 4. γ. r 1 < r 2 r 3 < r 4. Οι ιδιότητες των ακεραίων συνεπάγονται τις ακόλουθες ιδιότητες των πράξεων και της διάταξης στο Q. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ (1) Για κάθε r, s Q, r + s = s + r. (2) Για κάθε r, s, t Q, r + (s + t) = (r + s) + t. (3) Υπάρχει ένα στοιχείο 0 Q ώστε για κάθε r Q, 0 + r = r. (Το 0 αναπαρίσταται από οποιοδήποτε 0 q με q N) (4) Για κάθε r Q υπάρχει ο αντίθετός του r Q ώστε r + ( r) = 0. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (5) Για κάθε r, s Q, r s = s r. (6) Για κάθε r, s, t Q, r (s t) = (r s) t. (7) Υπάρχει ένα στοιχείο 1 Q ώστε για κάθε r Q, 1 r = r. (8) Για κάθε r Q με r 0 υπάρχει ο αντίστροϕός του r 1 Q ώστε r r 1 = 1. ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ (9) Για κάθε r, s, t Q, r (s + t) = r s + r t. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ (10) Η διάταξη < στο Q είναι ολική. Δηλαδή για κάθε r, s Q, είτε r = s ή r < s ή r > s. (11) Για κάθε r, s, t Q, αν r < s τότε r + t < s + t. (12) Για κάθε r, s, t Q, αν r < s και t > 0 τότε r t < s t. Παρατηρήσεις. (i) Για r Q ο αντίστροϕός του r 1 αναπαρίσταται ως εξής. Αν ο r = p q επειδή r 0 έπεται ότι p 0. (Ο q είναι διάϕορος του 0 γιατί q N). Τότε ο r 1 = sgn(p) q p, όπου sgn(p) = 1 αν p > 0 αλλιώς sgn(p) = 1 και p = p αν p > 0 αλλιώς p = p. 27

(ii) Το Q σαν διατεταγμένο σύνολο διαϕέρει σημαντικά από το N και το Z. Η βασική διαϕορά είναι ότι αν r, s Q με r < s τότε υπάρχει t Q ώστε r < t < s. Για παράδειγμα t = r+s 2 ικανοποιεί την ιδιότητα. Ακριβέστερα υπάρχουν άπειροι ρητοί μεταξύ αυτών των r και s. Μία άλλη διαϕορά είναι ότι τα άνω ϕραγμένα υποσύνολα του Q δεν έχουν πάντοτε μέγιστο στοιχείο. π.χ. το σύνολο A = {r Q : r < 0} είναι άνω ϕραγμένο αλλά δεν έχει μέγιστο στοιχείο. Αντίστοιχα ϕαινόμενα εμϕανίζονται για τα κάτω ϕραγμένα υποσύνολα του Q. (iii) Το σύνολο Z των ακεραίων και άρα το σύνολο των ϕυσικών περιέχονται στο Q. Το N αναπαρίσταται από το σύνολο { p q : p q = p 1 για κάποιο p N } και το Z από το σύνολο { p q : p q = p 1 για κάποιο p Z }. Στο εξής τα στοιχεία των N, Z και Q θα τα συμβολίζουμε με p, m, k,... Ασκηση 2.2. Δείξτε ότι αν r < s ρητοί, τότε το σύνολο {t Q : r < t < s} είναι άπειρο σύνολο. Ασκηση 2.3. Δείξτε ότι το σύνολο {r Q : r < 1} είναι άνω ϕραγμένο και ότι δεν έχει μέγιστο στοιχείο. Πρόταση 2.5. Ισχύουν τα ακόλουθα: α) Το N δεν είναι άνω ϕραγμένο υποσύνολο του Q. β) Για κάθε r, t Q με r > 0 υπάρχει k N ώστε k r > t. Απόδειξη. Για να αποδείξουμε το α) αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε ρητό r υπάρχει ένας ϕυσικός αριθμός n ώστε r < n. Πράγματι έστω r = p q Q, όπου p Z και q N. Αν p N {0} τότε p 1 = p < 1 q και από τον ορισμό της διάταξη στο Q έπεται ότι r < 1. Αν p N, τότε p 1 = p < p + 1 (p + 1)q. Από τον ορισμό της διάταξης στο Q έπεται ότι το r < p + 1. Θα δείξουμε το β) με εις άτοπο απαγωγή. Εστω, λοιπόν, ότι υπάρχουν r, t Q με r > 0 τέτοιοι ώστε για κάθε k N έχουμε k r < t. Ισοδύναμα από τις ιδιότητες της διάταξης στο Q έχουμε ότι για κάθε k N ισχύει ότι k < t r 1, το οποίο είναι άτοπο καθώς από το α) έχουμε ότι το N δεν είναι άνω ϕραγμένο. 2.3 EnallaktikoÐ OrismoÐ twn Z kai Q Στη συνέχεια θα δώσουμε δύο διαϕορετικούς ορισμούς των ακεραίων Z και των ρητών Q οι οποίοι είναι αναμϕίβολα πιο κομψοί και αποϕεύγουν την διευρημένη έννοια της ισότητας που ήδη συζητήσαμε στο Q. Ο λόγος που δεν τους παρουσιάσαμε εξαρχής είναι ότι χρησιμοποιούν πιο προχωρημένη μαθηματική τεχνολογία και πιθανόν να ξενίζουν τον μη εξοικειωμένο αναγνώστη. Και οι δύο ορισμοί στηρίζονται στις σχέσεις ισοδυναμίας και τις εξ αυτών οριζόμενες κλάσεις ισοδυναμίας. Η σχέση ισοδυναμίας είναι ένα εργαλείο ταξινόμησης με ευρεία χρήση στα μαθηματικά και συναϕείς επιστήμες. 28

2.3.1 Sqèseic IsodunamÐac Ορισμός 2.6. Εστω X μή κενό σύνολο. Μία σχέση ισοδυναμίας στο X είναι μία διμελής σχέση που ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: (i) Για κάθε x X, x x. (ii) Για κάθε x, y X, x y y x. (iii) Για κάθε x, y, z X, x y και y z x z. Το πλέον άμεσο παράδειγμα μίας σχέσης ισοδυναμίας είναι η ισότητα. Η ιδιότητα (i) του ορισμού συνεπάγεται ότι η οποιαδήποτε σχέση ισοδυναμίας σ ένα σύνολο X επεκτείνει την ισότητα του X, δηλαδή για κάθε σχέση ισοδυναμίας το x = x συνεπάγεται x x. Το περιεχόμενο του ορισμού είναι ότι επιτρέπει να ταυτίσουμε αντικείμενα τα οποία αν και διαϕορετικά ικανοποιούν κάποιες κοινές ιδιότητες. Τέτοιου είδους ταυτίσεις είναι συνήθεις στην κοινωνία, την επιστήμη και αλλού και επιτρέπουν την ταξινόμηση και κατανόηση πολύπλοκων συστημάτων. Για παράδειγμα η διμελής σχέση μεταξύ των ανθρώπων ο a b αν και μόνο αν οι a, b έχουν τους ίδιους γονείς είναι μία σχέση ισοδυναμίας. Οι ταυτίσεις που υπάρχουν μεταξύ ισοδύναμων αντικειμένων περιγράϕονται από τις κλάσεις ισοδυναμίας που ορίζονται ως εξής. Ορισμός 2.7. Εστω X μη κενό σύνολο εϕοδιασμένο με μία σχέση ισοδυναμίας και x X. Η κλάση ισοδυναμίας του x συμβολίζεται με [x] και είναι: [x] = {y X : x y} Πρόταση 2.8. Εστω X μη κενό σύνολο και σχέση ισοδυναμίας στο X. Τότε για κάθε x, y X ένα από τα επόμενα συμβαίνει είτε [x] = [y] ή [x] [y] =. Κατά συνέπεια η οικογένεια υποσυνόλων του X {[x] : x X} ορίζει μία πλήρης διαμέριση του X σε ξένα ανα δύο σύνολα. Απόδειξη. Εστω x, y X. Υποθέτουμε ότι υπάρχει z [x] [y]. Θα δείξουμε ότι [x] = [y]. Προς τούτο αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε w [x] ισχύει ότι w [y] και αντίστροϕα. Πράγματι έστω w [x]. Τότε x w και επειδή z [x] έχουμε ομοίως ότι z x. Από την ιδιότητα (iii) του ορισμού της σχέσης ισοδυναμίας προκύπτει ότι z w. Εν συνεχεία χρησιμοποιώντας ότι z [y] συμπεραίνουμε ότι w y και άρα w [y]. Χρησιμοποιώντας τα ίδια επιχειρήματα δείχνουμε ότι αν w [y] τότε w [x] και άρα η πρόταση αποδείχτηκε. Ορισμός 2.9. Αν X ένα μη κενό σύνολο εϕοδιασμένο με μία σχέση ισοδυναμίας sin, τότε ορίζουμε ως χώρο πηλίκο το σύνολο X / = {[x] : x X}. Επίσης αν [x] X / τότε κάθε y [x] καλείται εκπρόσωπος της κλάσης [x]. 29

Παραδείγμα. Εστω m N. Ορίζουμε στο N την m σχέση ισοδυναμίας ως εξής. Αν k, l N, k m l αν υπάρχει v N {0} με 0 v < m και p 1, p 2 N {0} ώστε k = p 1 m + v και l = p 2 m + v. Είναι εύκολο να δούμε ότι m είναι σχέση ισοδυναμίας στο N. Επίσης εύκολα ελέγχουμε ότι N / m = { [0], [1],..., [m 1] } όπου [1] = {1, m + 1, 2m + 1, 3m + 1,...} και γενικά για κάθε j = 1,..., m [j] = { j + m l : l N {0} } Επίσης ας παρατηρήσουμε ότι [1] = [m + 1] = [2m + 1] =... και γενικότερα για κάθε j = 1,..., m και n [j] έχουμε ότι [j] = [n]. 2.4 H sumbatìthta prˆxewn kai diˆtaxhc me sqèsh isodunamðac Ορισμός 2.10. Εστω X μη κενό σύνολο εϕοδιασμένο με μία σχέση ισοδυναμίας. (i) Αν είναι μία πράξη στο X θα λέμε ότι οι και είναι συμβατές αν ισχύει το ακόλουθο. Για κάθε x, x, y, y στο X ώστε x x και y y ισχύει x y x y. (ii) Αν < είναι μία διάταξη στο X θα λέμε ότι οι < και είναι συμβατές αν ισχύει το ακόλουθο: Για κάθε x, x, y, y στο X ώστε x x και y y ισχύει x < y x < y. Πρόταση 2.11. Εστω X μη κενό σύνολο εϕοδιασμένο με μία πράξη και μία σχέση ισοδυναμίας που είναι συμβατές μεταξύ τους. Τότε η επάγει μία πράξη στο χώρο πηλίκο X /. Απόδειξη. Ορίζουμε την πράξη στον X ως εξής: [x] [y] = [x y]. Το μόνο που πρέπει να ελέγξουμε είναι ότι η είναι καλά ορισμένη. Για να είναι καλά ορισμένη η πράξη στον X / πρέπει να αποδείξουμε ότι το αποτέλεσμα της πράξης είναι ανεξάρτητο από τους εκπροσώπους των κλάσεων [x], [y] που χρησιμοποιούμε για να ορίσουμε το αποτέλεσμα της πράξης. Πράγματι, έστω x [x] και y [y]. Τότε από την συμβατότητα των και προκύπτει ότι x y x y και άρα [x y] = [x y ]. Ενα αντίστοιχο αποτέλεσμα ισχύει και για την διάταξη. Πρόταση 2.12. Αν σ ένα μη κενό σύνολο υπάρχουν μία διάταξη < και μία σχέση ισοδυναμίας συμβατές μεταξύ τους, τότε η < επάγει μία διάταξη στο X /. Απόδειξη. Για [x], [y] στο X / ορίζουμε [x] < [y] αν x < y. Το ότι η διάταξη είναι καλά ορισμένη αποδεικνύεται με παρόμοιο τρόπο όπως προηγουμένως. 30

2.5 Enallaktikìc orismìc tou Z Εχοντας ορίσει το N, το Z μπορεί να προκύψει από το N ακολουθώντας τα επόμενα βήματα. Θα θεωρήσουμε το σύνολο N 2 = N N όπου N N = {(n, m) : n, m N} το σύνολο των διατεταγμένων ζευγαριών ϕυσικών αριθμών. Δηλαδή το (n, m) αποτελεί ένα διατεταγμένο ζευγάρι όπου (n, m) = (n, m ) n = n και m = m. Στο N N θα ορίσουμε πρόσθεση, πολλαπλασιασμό και διάταξη. Αυτά θα ορισθούν με χρήση των αντίστοιχων του N. Επιπλέον θα ορίσουμε μία σχέση ισοδυναμίας η οποία θα είναι συμβατή με τις πράξεις και τη διάταξη. Το Z θα είναι το N 2 / με τις επαγόμενες πράξεις και διάταξη. Ας δούμε πιο προσεκτικά τα βήματα που περιγράψαμε. 2.5.1 OrismoÐ prˆxewn kai diˆtaxhc sto N 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ: (m, n) + (k, l) = (m + k, n + l) ΠΟΛΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ: (m, n) (k, l) = (mk + nl, ml + nk) ΔΙΑΤΑΞΗ: (m, n) < (k, l) m + l < n + k Πιθανόν οι παραπάνω ορισμοί να ϕαίνονται περίεργοι και ίσως ακατανόητοι. Ομως είναι ϕυσιολογικοί αν ϕανταστούμε ότι ο στόχος μας είναι το διατεταγμένο ζευγάρι (m, n) να αναπαριστά τον ακέραιο m n. Με αυτή την αντιστοιχία είναι εύκολο να ελεχθεί ότι οι πράξεις και η διάταξη είναι ϕυσιολογικά ορισμένες. 2.5.2 Orismìc thc sqèshc isodunamðac sto N 2 Στο N 2 ορίζουμε (m, n) (k, l) αν m + l = n + k. Είναι εύκολο να δείξουμε ότι η είναι σχέση ισοδυναμίας στο N 2. Επομένως ορίζεται ο χώρος πηλίκο N 2 /. Στο επόμενο σχήμα περιγράϕονται οι κλάσεις ισοδυναμίας στο N 2. Πρόταση 2.13. Οι πράξεις +, στο N 2 καθώς και η διάταξη < είναι συμβατές με τη σχέση ισοδυναμίας. Η απόδειξη ότι η πρόσθεση και η διάταξη είναι συμβατές με την είναι εύκολες. Πιο πολύπλοκη είναι η απόδειξη για τον πολλαπλασιασμό. Η απόδειξη της πρότασης αϕήνεται στον αναγνώστη. Το σύνολα Z είναι ο χώρος πηλίκο N 2 / εϕοδιασμένο με τις πράξεις και τη διάταξη που ορίσαμε στο N 2. 31

(1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (5, 4) 3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (5, 3) 2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (5, 2) 1 0 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) +1 +2 +3 +4 Σχόλια: Ο ορισμός που παραθέσαμε δημιουργεί κάποια εύλογα ερωτήματα που αξίζει να συζητήσουμε. (α) Κατ αρχάς ο ορισμός του συνόλου Z = {[(m, n)] : m, n N} εμϕανίζεται χαοτικός ως προς τη διάταξη των στοιχείων του. Εν τούτοις όπως εμϕανίζεται από το προηγούμενο σχήμα, όπου κάθε κλάση ισοδυναμίας περιγράϕεται από μία διαγώνια λωρίδα, ισχύει το ακόλουθο που η απόδειξή του αϕήνεται στον αναγνώστη. Λήμμα 2.14. Για κάθε m, n N, ένα από τα τρία επόμενα ισχύει: (i) (m, n) (1, 1). (ii) Υπάρχει k N ώστε (m, n) (k, 1). (iii) Υπάρχει k N ώστε (m, n) (1, k). Αυτό επιτρέπει να περιγράψουμε το Z ως εξής: Z = { [(1, k)] : k N και k > 1 } { [(1, 1)] } { [(k, 1)] : k N και k > 1 } Είναι σαϕές ότι το πρώτο σύνολο αντιπροσωπεύει το N, η κλάση [(1, 1)] είναι το 0 ενώ το τρίτο σύνολο είναι το N. Με την προηγούμενη αναπαράσταση ο αριθμός 1 αντιστοιχεί στην κλάση [(2, 1)] και ο 1 στην [(1, 2)]. (β) Επίσης πρέπει να σημειώσουμε το ότι κάθε ακέραιος αναπαρίσταται από μία κλάση ισοδυναμίας και άρα από ένα υποσύνολο του N 2 δεν πρέπει να ξενίζει. Εν γένει στα σύγχρονα μαθηματικά όταν ορίζουμε μία μαθηματική δομή, δηλαδή ένα σύνολο με κάποιες πράξεις και σχέσεις, το κυρίαρχο είναι η σχέση μεταξή των στοιχείων και δεν ενδιαϕέρει καθόλου η ϕύση των στοιχείων. Το ότι θεωρούμε τους ακέραιους σαν τις κλάσεις [(m, 1)] ή [(1, m)] ή [(1, 1)] και όχι (m, 1), (1, m), (1, 1) οϕείλεται στο ότι οι πράξεις όπως τις ορίσαμε δεν αντιστοιχούν το άθροισμα των εκπροσώπων που έχουμε επιλέξει σε αντίστοιχο εκπρόσωπο. Για παράδειγμα, για κάθε m > 1, (1, m) + (m, 1) = (m + 1, m + 1) και όχι (1, 1). 32

2.6 Enallaktikìc orismìc tou Q Ο ορισμός του συνόλου των ρητών με χρήση σχέσης ισοδυναμίας είναι παρόμοιος με τον αντίστοιχο των ακεραίων. Σε αυτή την περίπτωση ο ορισμός είναι σχεδόν ο ίδιος με αυτόν που έχουμε ήδη παραθέσει. Η μόνη διαϕορά είναι η ισότητα, που ήδη έχουμε αναϕέρει, και όπως παρατηρήσαμε παρουσιάζει την ιδιομορϕία να ταυτίζει στοιχεία με διαϕορετικό συμβολισμό. Στην εναλλακτική προσέγγιση θα είναι, αυτό που πρέπει να είναι, μία σχέση ισοδυναμίας. Θεωρούμε το σύνολο Z N = { (p, q) : p Z και q N } και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας. (p 1, q 1 ) (p 2, q 2 ) p 1 q 2 = p 2 q 1 Οι πράξεις και η διάταξη στο Z N ορίζονται ακριβώς με τον ίδιο τρόπο που έχουν ήδη ορισθεί στο προηγούμενο ορισμό του Q. Εύκολα μπορεί να αποδειχθεί η επόμενη πρόταση. Πρόταση 2.15. Οι πράξεις +, στο Z N καθώς και η διάταξη < είναι συμβατές με τη σχέση ισοδυναμίας. Το σύνολο Q είναι ο χώρος πηλίκο Z N / εϕοδιασμένος με τις πράξεις και τη διάταξη που επάγονται από το Z N. Σχόλιο: Οπως και στην περίπτωση του εναλλακτικού ορισμού του Z, τα στοιχεία του Q, που ορίζεται εναλλακτικά σαν χώρος πηλίκο του Z N, είναι υποσύνολα του Z N. Η βασική διαϕορά αυτού του ορισμού του Q από τον αρχικό που είχαμε δώσει είναι ότι εδώ η ισότητα είναι ακριβής, δηλαδή κάθε στοιχείο είναι ίσο μόνο με τον εαυτό του. 33

34

Kefˆlaio 3 Oi pragmatikoð arijmoð Στα δύο προηγούμενα κεϕάλαια έχουμε εισάγει τους ϕυσικούς αριθμούς N, τους ακεραίους Z και τους ρητούς Q. Ειδικότερα, οι ϕυσικοί αριθμοί είναι το πρωτογενές αντικείμενο, την ύπαρξη του οποίου δεχόμαστε αξιωματικά, ενώ οι ακέραιοι και οι ρητοί προκύπτουν από αυτό. Επίσης, υπάρχουν οι ϕυσιολογικοί εγκλεισμοί του N ως υποδομή του Z και οι ϕυσιολογικοί εγκλεισμοί του Z ως υποδομή του Q. Στο παρόν κεϕάλαιο θα ορίσουμε τους πραγματικούς αριθμούς, R, που αποτελούν την πλήρωση των ρήτων και ο ορισμός τους απασχόλησε επί μακρόν τους μαθηματικούς. Η συνήθης περιγραϕή των πραγματικών αριθμών είναι η ταύτισή τους με τα σημεία μίας ευθείας γραμμής. Ενώ αυτό που τους διακρίνει από τους ρητούς αριθμούς είναι η πληρότητά τους ως προς την ύπαρξη ριζών θετικών αριθμών (π.χ το 2 που είναι πραγματικός, δεν είναι ρητός), καθώς και η ύπαρξη αριθμών όπως e, π που παίζουν θεμελιώδη ρόλο στα μαθηματικά. Η πορεία που θα ακολουθήσουμε για τον ορισμό των πραγματικών αριθμών είναι πλήρως αναλυτική. Στο πρώτο μέρος θα προσδιορίσουμε τις βασικές ιδιότητες των πράξεων και της διάταξης και θα μελετήσουμε τις συνέπειες τους στη δομή του R. Στο δεύτερο μέρος θα περογράψουμε πώς ένα σύνολο που ικανοποιεί αυτές τις ιδιότητες προκύπτει από το σύνολο Q των ρητών αριθμών. 3.1 Orismìc twn pragmatik n arijm n Οι πραγματικοί αριθμοί είναι ένα σύνολο R εϕοδιασμένο με δύο πράξεις, την πρόσθεση +, τον πολλαπλασιασμό και μία διάταξη <, που ικανοποιούν τις ακόλουθες ιδιότητες. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ (i) Για κάθε α, β R, α + β = β, α. (Αντιμεταθετική) (ii) Για κάθε α, β, γ R, α + (β + γ) = (α + β) + γ. (Προσεταιριστική) 35

(iii) Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο το 0, το οποίο για κάθε α R, ισχύει α + 0 = 0 + α = α. (iv) Για κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχει ο αντίθετός του, δηλαδή για κάθε α R υπάρχει β R τέτοιο ώστε α + β = 0 και το συμβολίζουμε με α. Με τη χρήση των ιδιοτήτων (i) (iv) προκύπτουν οι ακόλουθες ιδιότητες. Η απόδειξή τους αϕήνεται σαν άσκηση. Πρόταση 3.1. Ισχύουν τα ακόλουθα: (α) Το 0 είναι το μοναδικό στοιχείο x του R που ικανοποιεί α + x = α για κάθε α R. (β) Κάθε στοιχείο α στο R έχει μοναδικό αντίθετο. (γ) Η εξίσωση x + α = β έχει μοναδική λύση x = β + ( α) = β α. (δ) Για κάθε α, β, γ στο R α + γ = β + γ α = β. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΥ (v) Για κάθε α, β R, αβ = βα. (Αντιμεταθετική) (vi) Για κάθε α, β, γ R, α(βγ) = (αβ)γ. (Προσεταιριστική) (vii) Υπάρχει ουδέτερο στοιχείο το 1, με 1 0, το οποίο για κάθε α R, ισχύει α1 = 1α = α. (viii) Για κάθε μη μηδενικό πραγματικό αριθμό υπάρχει ο αντίστροϕός του, δηλαδή για κάθε α R με α 0 υπάρχει β R τέτοιο ώστε αβ = 1 και το συμβολίζουμε με α 1. Οπως στην περίπτωση της πρόσθεσης, οι ιδιότητες του πολλαπλασιασμού συνεπάγονται επί πλέον ιδιότητες που περιγράϕονται από την επόμενη πρόταση. Πρόταση 3.2. Ισχύουν τα ακόλουθα: (α) Το 1 είναι το μοναδικό στοιχείο του R που ικανοποιεί α 1 = α για κάθε α R. (β) Κάθε στοιχείο α στο R, α 0, έχει μοναδικό αντίστροϕο. (γ) Η εξίσωση α x = β με α 0 έχει μοναδική λύση x = β (α) 1 = β α. (δ) Για κάθε α, β, γ στο R με γ 0, α γ = β γ α = β. ΕΠΙΜΕΡΙΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ Η επόμενη ιδιότητα είναι κρίσιμη γιατί συνδέει τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. (ix) Για κάθε α, β, γ R, α(β + γ) = αβ + βγ. 36